גאומטריה יסודית

גאומטריה יסודית היא ענף של מתמטיקה יסודית. מקובל להניח שהיא חופפת במלואה או בכללותה לגאומטריה אוקלידית.

מונחי יסוד

המונחים להלן מאד אינטואיטיביים ורצוי ללמד אותם עם דוגמאות מוחשיות על מישור מתמטי בליווי הסברים פשוטים.

• נקודה
• קו
• ישר
• עקום
• זוית (תנוחה)
• רוחב
• אורך
• מימד (איך משהו מופיע במרחב)
• קטע אפס מימדי (נקודה)
• קטע חד מימדי כמו קו ישר לא אלכסוני (non diagonal) או כן אלכסוני (diagonal) או קו עקום (curve)
• קטע דו מימדי
• צלע (side)
• קודקוד (point)
• קטע תלת מימדי
• גובה
• עומק
• נפח
• ציר
• ציר X וציר Y
• מערכת צירים קרטזית
• מרכז מערכת צירים קרטזית
• אורדינטה a מסוימת (על ציר X)
• אורדינטה b מסוימת (על ציר Y)
• קואורדינטה כנקודת מפגש של אורדינטה a ואורדינטה b

דיון ראשוני במושג נקודה

נקודה היא ישות אלמנטרית במישור (בדומה לחלקיק אלמנטרי במרחב).

נקודה היא נטולת רוחב ואורך.

ניתן להשתמש בנקודות ליצירת קטעים דו מימדיים כמו: 

• קטע ישר פתוח
• קטע ישר סגור (פוליגון)
• קטע עקום פתוח
• קטע עקום סגור
• מעגל (אם לא נגדיר מעגל כקטע עקום סגור)

 ניתן להשתמש בנקודות ליצירת אין ספור סוגים של קטעים תלת מימדיים.

קודקוד הוא נקודה של קטע.

• לא ייתכן אוניגון (unigon) כי נקודה איננה צורה וקו ישר הוא קטע יחידני ולא מרובה. 
• ביגון (bigon) כקטע ישר פתוח עם שתי צלעות הוא אמנם מרובה צלעות אבל איננו פוליגון במובן שפוליגון הוא קטע ישר סגור עם שלוש צלעות או יותר.

צורות סגורות המתקבלות מנקודות

מלבד מרובעים ומשולשים וצורות נוספות, בולטת בחישבותה גם צורת המעגל.

דוגמאות למרובעים נפוצים: ריבוע, מלבן, טרפז, מקבילית, דלתון, מעוין ועוד.

דוגמאות למשולשים פשוטים: שווה צלעות (רגיל), שווה שוקיים חד זווית (מחודד), שווה שוקיים ישר זווית (חצי מריבוע), שווה שוקיים קהה זווית (שטוח סימטרי), משולש קהה זווית (שטוח אסיטמרי). 

למשולשים פחות נקודות מלמרובעים אך העבודה עימם דורשת יותר דיוק ויותר מינוח שיכול להיות מבלבל ברמת גאומטריה יסודית.

מעגל ומרכיביו

מעגל (circle) הוא קטע המקיף עיגול (disc), כלומר הוא תחום העיגול.

היקף המעגל או לחלופין שפת המעגל (perimeter) הוא אורך המעגל בהנחה שהמעגל היה נפתח ונפרס כקו ישר והוא עשוי קטע אחד של נקודות שמרחק כל אחת מהן מן הנקודה הפנימית המרכזית של המעגל ← שווה.

במעגל מספר קטעים פנימיים:

• נקודה פנימית מרכזית או מרכז (center).
• קוטר (diameter): כל קטע הנפרש ממרכז המעגל אל שתי נקודות מקבילות של היקף המעגל.
• מיתר (chord): כל קטע הנפרש מנקודת מעגל מסוימת אחת לנקודת מעגל מסוימת אחרת, בתוך העיגול.
• רדיוס (ביחיד radius וברבים radii): כל קטע הנפרש ממרכז המעגל לכיוון אחת מנקודותיו ובאופן כללי גודלו כחמצית הקוטר.

אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל אז הוא נקרא משיק למעגל או במילה אחת, משיק (tangent) ונמצא תמיד מחוץ למעגל.

עובי מעגל הוא למעשה טבעת (annulus) המתקבלת מחיסור שטח עיגול קטן משטח עיגול גדול בעל אותה נקודת מרכז, אם כי עובי מעגל אינו מונח פורמלי.

הערות בנושא מעגל ומרכיביו

1. בתורת הקשרים, מעגל מכונה גם unknot.
2. עיגול הוא הצורה העגולה המלאה ומעגל הוא השפה שלה (שפת העיגול) ולכן חצי עיגול הוא הצורה שהשפה שלה היא חצי מעגל שקצותיו מחוברים בקו ישר.
3. חצי מעגל נקרא סמיסירקל (semicircle) וחצי עיגול נקרא סמידיסק אם כי באנגלית נפוץ לנסח half disc. גם סמיסירקל וגם סמידיסק אינם סהר (crescent) שהוא חיתוך קעור מעיגול.
4. מעגל ועיגול אינם כדור (sphere), אינם גליל (cylinder) ואינם דונאט (donut) כי הם צורות דו-מימדיות בעוד שכדור, גליל, או דונאט, הם צורות תלת-מימדיות.
5. בכל הנוגע למעגלים ואליפסות ההיקף נקרא גם circumference.
6. ניתן לפצל כל מעגל לשני חצאים שווים ולכן נאמר שהוא צורה סימטרית.
7. ניתן להגדיר מעגל כעקום סגור אשר נפרש סביב מרכז.
8. הדעות חלוקות בשאלה אם מעגל הוא צורה חד-מימדית ("חד-מימדי מקומית") או דו-מימדית.

מונחים לא פורמליים

• המונח הומיאומורפיזם שמיש בעיקר בטופולוגיה אבל ניתן ליישם אותו גם לגאומטריה כאשר דנים במאפיינים משותפים לצורות מסוימות כמו הימצאות חור במרכזן (לדוגמה, חור בספל קפה לעומת חור בדונאט).
• המונח איזומורפיזם שמיש בעיקר באלגברה אבל ניתן ליישם אותו גם לגאומטריה כאשר משווים צורות מסוימות הדומות זו לזו כמו משולש רגיל ומשולש עם פינות עגולות, אם כי זה תלוי בהגדרת המונח ויש מי שמסתייג מכך משום שלמשולש עם פינות עגולות יש פרמטר נוסף של רדיוס פינות, אך דיון זה נרחב מעבר לגאומטריה אלמנטרית. במקום להגיד איזומורפיזם על דמיון כזה אפשר פשוט להגיד שהצורות דומות (similar).

חישוב שטח ויחידות מידה

• מטר
• אינץ'
• שיטה מטרית
• שיטה אמפריאלית
• קילומטר
• מייל
• צלזיוס
• קלווין
• גודל מינימלי (פלאנק)
• שטח מחושב בדרך כלל בעזרת ריבועים.
• מטר ריבועי (מטר רבוע): מטר בחזקת 2 או מטר בשנייה.
• מטר מעוקב: מטר בחזקת 3 או מטר בשלישית.
• המרת יחידות (ממטר לאינץ', מקילומטר למייל, מצלזיוס לקלווין וכן הלאה).

שטח

שטח מתקבל מהכפלת רוחב באורך. 
מטר ריבועי הוא מטר כפול מטר ושנייה ריבועית היא שנייה כפול שנייה. 
בכל פעם שנכפיל יחידה בעצמה נקבל יחידה ריבועית.
בהתאם לכך, חישוב שטח של ריבוע נעשה דרך הכפלת אורך של צלע בעצמה.

עם זאת, מטר ריבועי היא יחידת מידה לשטח שלמרות שמה לא בהכרח קשורה רק לריבועים כי לכל צורה דו מימדית וגם למעגל יכול להיות שטח ששווה לריבוע שאורך צלעו הוא מטר.

ניתן למדוד שטח של מעגל בעזרת ריבועים על רשת (grid).
ניתן למדוד שטח גם בלי ריבועים בשיטות אחרות  שאינן בשימוש במערכת היחידות הבין לאומית (מערכת SI).

הערות לפרק

• אין לבלבל מעגל ריבועי (squared circle) עם סקיוורקל (squircle) שהוא שלב הביניים בין ריבוע למעגל.
• המושג פרבולה (parabola) הדומה לצורת האות U ומשקף מסלול מהחלק העליון של חצי אחד של צורה דמויית האות U לנקודת המרכז של צורה דמויית האות U ומשם לחלק העליון של חצי שני של צורת דמויית האות U איננו מונח בגאומטריה יסודית ולדעתי מוטב שלא לנסות ללמד אותו לתלמידי גאומטריה יסודית.

תורת הקשרים

הכרות עם יסודות תורת הקשרים ברמת מתמטיקה יסודית לא אמורה לכלול כל דבר מעבר לדוגמאות צורתיות למונחים הבאים:

• unknot
• 3₁
• 4₁
• 5₁
• 6₁
• 7₁

במבוא כזה, הדגש לא אמור להיות על ביצוע הקשרים אלא על הדגמת הצמתים המהווים את הקשרים ואת הדמיון הצורתי בין קשרים אלה לבין צורות גאומטריות שונות כמו הדמיון הצורתי בין 3₁ למשולש, כמו היעדר הדמיון הצורתי בין 4₁ לצורה נפוצה כל שהיא וכמו הדמיון הצורתי בין 5₁ לפנטגרם, בין 6₁ להקסגרם ובין 7₁ לאוקטגרם.

הערות לפרק

• תרשים של קשר יכול לדמות תרשים של פוליגון (לדוגמה, 5₁ יכול לדמות פנטגרם).

פילוסופיה של צורות סגורות

צורות הגרם כמו פנטגרם, הקסגרם, הפטגרם, אוקטגרם וכן הלאה הן מקרה כללי (לא מקרה פרטי) של צורות הגון כמו פנטגון, הקסגון, הפנטגון, אוקטגון וכן הלאה וצורות הגון הן מקרה כללי של צורות הפוליגון.

מבחינה רוחנית, העיסוק בכלל ובצורות הפוליגון (כולל גון וגרם) נחשב לבעייתי משום שהוא לפעמים נלקח למקומות דתיים ומיסטיים ואפילו פילוסופיים חסרי בסיס מדעי ורוחני ואבסורדיים (פסל, תמונה, קמע, קעקוע, סימול יצורים חיים וכדומה) החורגים לגמרי מתיאור מתמטי פשטני וטכני של צורות על מישור ולדעתי מוטב להקנות לתלמידים חשיבה ביקורתית בנושא ולהדגים להם את חוסר הבסיס הלוגי שבקשירת סמלים עם מושגים כמו מיסטיקה, רוחניות וכדומה ואת הבעיות הפילוסופיות עם הסמלים עצמם; לדוגמה, ניתן להבין סמלים מסוימים כחדים ומקדמים אלימות.

פילוסופיה של תורת הקשרים

מבחינה רוחנית, תורת הקשרים היא תורה בעייתית כי תרשימי קשר יכולים להזכיר סמלים, שהם דבר עם פוטנציאל הרסני כשלעצמו (הוסבר לעיל) וגם כי קשרים משקפים במקרים רבים מצבים של תקיעה, סבל שיעבוד וכפייה.

פילוסופיה של הנקודה

ניתן להגדיר נקודה כריבוע מנוון שכל קודקודיו שווים זה לזה וניתן גם להגדיר נקודה כמעגל בעל רדיוס אפס.

לפי מוסכמה מקובלת במישור מתמטי ייתכנו אין סוף נקודות בין כל שתי נקודות.

לפי מוסכמה מקובלת לא ניתן להקיף נקודה אלא רק צורה הנוצרת מלפחות שתי נקודות (הנקודות הן חלקים מדומים של הצורה המאפשרים להגדיר אותה).

כשדנים על צורות דו מימדיות ותלת מימדיות ניתן להוסיף גם את מושג דו-וחצי-מימדי (נושא בגרפיקה ממוחשבת שמפתח חשיבה על צורות דו מימדיות).

נקודה היא הסמל השלו ביותר כי היא אפס מימדית ואין או כמעט אין מה להתווכח עליה לאף אחד, אי פעם.

הערות כלליות

• בגאומטריה יסודית מתמקדים בכל הצורות הנפוצות באופן די שווה אך בגאומטריה בסיסית ומעלה מתמקדים בעיקר במרובעים ומשולשים.