מה זה לוגיקה פורמלית? מבוא קצר למונח בדגש על תכנות

לוגיקה (באנגלית: logic) פירושו היגיון ובעיקר הסקת מסקנה ממשפט אחד או שניים או יותר משפטים.

לוגיקה פורמלית (באנגלית: formal logic) ניתן להגדיר בהגדרה רחבה ובהגדרה צרה.

סוגי הגדרות

• בהגדרה רחבה לוגיקה פורמלית היא כל תורה לוגית המבוססת על לוגיקה פרטית של פילוסוף אחד או על לוגיקה קולקטיבית של שני פילוסופים או יותר והיא תכלול לפחות אקסיומה אחת, ללא תלות בשאלה כמה תורה לוגית זו מדויקת מבחינה מציאותית ובעיקר מבחינת תוצאה שתתקבל מהסקת מסקנה ממנה.
• בהגדרה צרה ופרקטית יותר לוגיקה פורמלית נקראת לוגיקה מתמטית ומהווה רכיב של יסודות המתמטיקה ← תחום ידע המהווה אוסף של אקסיומות ומוסכמות למתמטיקה ולפי דעה אחרת חלק מן המתמטיקה עצמה ודוגמה לכך תהיה מודל מתמטי כמו "שפה מסדר ראשון".

ההגדרה בקרב מתמטיקאים

ספרות ה Mathematics Subject Classification (מהדורת 2010) כוללת חלוקה פרקטית של יסודות המתמטיקה ומתמטיקה לכמה עשרות תחומים ראשיים; שלושת התחומים הראשונים בחלוקה זו (מתוך 97) הם:

1. מבוא כללי (general).
2. היסטוריה וביוגרפיה.
3. לוגיקה מתמטית ויסודות; אשר כולל: היבטים פילוסופיים, לוגיקה מתמטית, תורת המודלים, חישוביות ורקורסיה, תורת הסטים, תורת ההוכחות ומתמטיקה קונסטרוקטיבית, לוגיקה אלגברית ומודלים לא סטנדרטיים.

תורה לוגית פורמלית נפוצה ביותר היא תורת הסטים האקסיומטית המהווה ניסוח אקסיומטי של רעיון תורת הסטים ופותחה בבסיסה על ידי ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל. כמו כן, תורת הסטים האקסיומטית מוגדרת כ"מודל של שפה מסדר ראשון".

הכללת המתמטיקה היסודית בלוגיקה פורמלית

הגדרות רחבות של לוגיקה פורמלית יכללו גם מתמטיקה יסודית (מתמטיקה יסודית איננה יסודות המתמטיקה אלא החלק היסודי של מתמטיקה שבא לפני יסודות אלה כחלק מ"מבוא כללי").

לוגיקה פורמלית לעומת לוגיקה אינפורמלית

מנגד ללוגיקה פורמלית ישנה לוגיקה אינפורמלית ("לא פורמלית") העוסקת בהיגיון של שפות תקשורת כללית ("שפות טבעיות").

לוגיקה פרטית

לוגיקה פרטית או היגיון פרטי (private logic) אני מגדיר ככל המידע הזמין בזכרונו של אדם שיכול לשמשו להסקת מסקנות המיוצגות בשפה והוא יכול להוות בסיס לפיתוח לוגיקה קולקטיבית בכלל ופורמלית בפרט (כתורה לוגית).

לוגיקה פרטית ככלל תהיה מושפעת, במידת מה, מלוגיקה קולקטיבית והיא אולי תשקף במידת-מה תורה לוגית מסוימת, כלומר תורה המבוססת על אקסיומה אחת לפחות ושמטרתה לבסס תשובות בשאלה "מה לוגי ומה אינו".

מונח הלוגיקה פרטית או מונחים דומים נחקרים בעיקר במסגרת פילוסופיה וניורופסיכולוגיה.

לוגיקה קולקטיבית

לוגיקה קולקטיבית או היגיון קולקטיבי ( collective logic) אני מגדיר ככל לוגיקה פרטית הנחלקת במידה מספקת, בין קבוצה מובחנת של שניים או יותר אנשים (כגון חברי אידאולוגיה או דת מסוימים ועוד קבוצות מוגדרות אפשריות).

ניתן לתאר לוגיקה פרטית או קולקטיבית בתורה לוגית-פורמלית.

תורות לוגיות מתחרות זו בזו על היותן מדויקות יותר ביחס ללוגיקה הטהורה הקיימת, לפי דעה, במציאות.

תורה לוגית

תורה לוגית או מערכת לוגית היא אקסיומה אחת או יותר ואם כמה אקסיומות אז תיאור הקשר בינהן על בסיס ניסיון, במטרה לפתור בעיות ולחנך לפתרון בעיות טוב ככל הניתן, בהקשר נתון.

תורה לוגית משקפת לכל הפחות לוגיקה פרטית של אדם אחד ויכולה לשקף לוגיקה קולקטיבית של שניים או יותר אנשים שחולקים אותה.

יש הטוענים שלעתים לוגיקה פרטית, לוגיקה קולקטיבית וכך גם תורה לוגית, משקפים במידת מה את הלוגיקה הטהורה ביקום - כלומר את האיכות והכמות האמיתית של האובייקט הפיזיקלי או תהליכים בו, אבל זו טענה שנויה במחלוקת בעיקר כפי שהדגים מדען התודעה דון הופמן.

מונחים נפוצים בלוגיקה פורמלית

מניסיוני, בשיח על לוגיקה פורמלית נפוצים מאד המונחים היסודיים להלן:

• אקסיומה (הנחת יסוד)
• קשר
• סט
• הפרכתיות (משהו בן-הפרכה).
• בלתי ניתן להפרכה (משהו שאינו בן-הפרכה).
• ניסוי (מבוסס אקסיומה לצורך הניסיון להפריך).
• נוסחה
• אלגוריתם
• מודל
• אופרנד
• אופרטור

אופרטור לוגי

אופרטור לוגי הוא סימן המהווה חלק מתחביר של שפה מסוימת ומסמל מצב או פעולה מסוימ\ת.

כמו שבשפת תקשורת כללית הסימנים (אופרטורים לוגיים לצורך העניין) פסיק או נקודה מסמלים מצב כמו הפסקה זמנית בתוך משפט או סוף משפט, כך בשפת מחשב אופרטורים לוגיים מסמלים מצב הגיוני נוקשה מסוים המשפיע איזה פלט יתקבל בעת הרצת תוכנה.

בשפות מחשב רבות, אופרטור לוגי נפוץ הוא סימן השוויון (=). סימן נוסף שנפוץ במתמיקה וניתן להשתמש בו גם בשפות מחשב מסוימות הוא סימן האי שוויון (≠).

בשפות מחשב רבות, סימן השוויון משמש הן להשמה (assignment) כמו כאשר רוצים לשים לקבוע או למשתנה ערך וגם ולצורך בדיקת שוויון חלקי או מלא בין כמה גורמים.
השמה נכתבת לרוב עם סימן שוויון בודד (=) והשוואה נכתבת לרוב עם סימן שוויון פעמיים (==) או שלוש פעמים (===) בתלות בסוג ההשוואה (שוויון חלקי או מלא).

אופרטורים לוגיים נוספים הם גדול מ (<), קטן מ (>), גדול מ או שווה ל (≤), קטן מ או שווה ל (≥), XOR ועוד.

הכלה והכללה

הכלה מתאר משהו שכלול בתוך משהו; למשל, גפרור בתוך קופסת גפרורים בתוך קופסת פלסטיק.
בלוגיקה פורמלית, סט שני יכול להיות מוכל בתוך סט ראשון.

הכללה מתארת רעיון אשר לפחות בפוטנציה ניתן להכליל על רעיון אחר; כך למשל, ניתן להכליל את הרעיון של מצולע (קטע סגור בעל שלוש או יותר צלעות) על רעיונות הצורה משולש, ריבוע, מלבן ועוד.
במובן של סטים הרי שסט המצולעים מכיל את סט המשולשים, סט הריבועים סט המלבנים ושאר הסטים הרלוונטיים (כל אחד מהם יכול להוות משתנה המקבל גודל אחד או יותר).

פרט, כלל ויחס ביניהם

חתול במגפיים הוא מקרה פרטי (פרט) של המושג חתול (פרט וכלל); עם זאת, חתולים פרסיים אינם "מקרה פרטי" כזה:
למרות שכל חתול פרסי הוא חתול (כלל וכלל); רעיון סט החתולים מכליל את רעיון סט החתולים הפרסיים; תאורטית ניתן להגיד שיש גם סט של חתולים במגפיים אך במקרה זה, לפי הגדרה שרירותית זהו מקרה ייחודי (פרט).

• דדוקציה היא הסקת מסקנה מהכלל לפרט.
• אינדוקציה היא הסקת מסקנה מהפרט לכלל.

הערות לפרק

• לפחות בהקשר מסוים, כל הכללה מתארת הכלה אך לא כל הכלה מתארת הכללה.

לוגיקה טהורה

המונח לוגיקה טהורה מתאר היגיון או לוגיקה שכביכול הייתה קיימת תמיד או שהינה "תבועה" ביקום ושהיא הצורה היחידה הנכונה של לוגיקה וטהורה מכל פרשנות של יצורים תבוניים שלא תואמת אותה באופן מוחלט (או שתואמת אותה בצורה קרובה ביותר, כפרשנות).

רעיון עצם קיום לוגיקה טהורה או הרעיון לפיו בני אדם (או כל יצור תבוני מוגבל אחר) יכולים לגלותה למרות תפישתם המוגבלת את האובייקט הפיזיקלי ← שנויה במחלוקת.

אולי הגדרה טובה לכך היא "חוקי לוגיקה המהווים חלק מן הפיזיקה עצמה".

לקריאה נוספת

• שלושת פעולות היסוד של תורת הסטים